华罗庚是中国现代数学的奠基人之一，他在数学领域取得了卓越的成就，具体包括：

解析数论：

华罗庚在解析数论方面的成就尤为广为人知，他解决了高斯完整三角和的估计难题、华林和塔里问题的改进、一维射影几何基本定理的证明等。他开创的“中国解析数论学派”对质数分布问题与哥德巴赫猜想做出了许多重大贡献。

矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程和高维数值积分：

华罗庚在这些领域也是创始人和开拓者，他的研究成果在国际上具有广泛影响。

国际数学科研成果：

国际上以华氏命名的数学科研成果包括“华氏定理”、“华氏不等式”、“华—王方法”等。

教育和科普：

华罗庚不仅致力于数学研究，还积极推动数学教育和科普工作。他撰写了多部专著和教材，如《堆垒素数论》、《典型群》、《高等数学引论》、《从单位圆谈起》、《数论导引》及《优选学》等。他还发起创建了我国计算机技术研究所，是我国最早主张研制电子计算机的科学家之一。

应用数学：

华罗庚努力寻找数学与工农业实践相结合的道路，提出了“数学统筹方法”和“优选法”，并在工农业生产中推广应用，取得了显著的经济效益和社会效益。

荣誉和职务：

华罗庚在中国乃至国际上获得了众多荣誉和职务，包括被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一、中国科学院院士、美国国家科学院外籍院士、中国第一至第六届全国人大常委会委员等。

华罗庚的一生是充满奋斗和奉献的一生，他的数学成就不仅为中国现代数学的发展奠定了坚实基础，也为世界数学界做出了重要贡献。他的精神财富激励着一代又一代的数学工作者。