笛卡尔的心形线公式是极坐标方程，具体表达为：

\[ r = a（1 - \sin\theta） \]

或者

\[ r = a（1 + \sin\theta） \]

其中，\（ a > 0 \）。这个公式描述了一个在极坐标系中，以原点为中心，半径为 \（ a \） 的心形线。当 \（ \theta \） 从 0 变化到 \（ 2\pi \） 时，这个方程会描绘出一个完整的心形图案。

这个公式也可以转换为直角坐标系中的方程。通过极坐标和直角坐标之间的转换关系：

\[ x = r \cos\theta \]

\[ y = r \sin\theta \]

将 \（ r = a（1 - \sin\theta） \） 代入，得到：

\[ x = a（1 - \sin\theta） \cos\theta \]

\[ y = a（1 - \sin\theta） \sin\theta \]

利用三角恒等式 \（ \sin（2\theta） = 2\sin\theta \cos\theta \） 和 \（ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \），可以进一步简化为：

\[ x = a \cos\theta - a \sin\theta \cos\theta \]

\[ y = a \sin\theta - a \sin^2\theta \]

这两个方程在直角坐标系中描述的心形线与极坐标系中的描述是等价的。

这个公式不仅美丽，而且蕴含了笛卡尔对瑞典公主克里斯汀的深情。据说，笛卡尔在生命的最后阶段，给公主寄出的最后一封信中，只有一个方程式 \（ r = a（1 - \sin\theta） \），这个方程式在坐标系中绘制出来，形成了一个心形的图案，这就是著名的“心形线”。