杜牧名字的由来可从以下两方面解析：

一、姓氏来源

杜牧的姓氏源于其祖先杜预，杜预是西晋时期的名臣，曾任左司空、司徒等职，为官至宰相。杜牧作为杜预的孙子，承袭了家族的官宦传统。

二、名字与字号解析

字“牧之”的由来

本义关联：

杜牧的字“牧之”取自《左传》中“牧野”一词，指古代善于治理的贤者，寓意杜牧具备治理才能。

父亲寄寓：其父杜佑希望他如放牧者般自由驰骋于文学与政治领域，同时兼具安抚人心的品德。

号“樊川居士”的由来

晚年杜牧隐居长安南樊川别墅，故以“樊川居士”为号，后人称其为“杜樊川”。该号与他的诗歌主题（如《秋夕》）及隐居生活密切相关。

三、补充说明

杜牧与父亲同名（杜牧之父为杜佑），但字不同，体现了唐代文人以字区分身份的传统。其诗作以七言绝句见长，擅长借史抒怀，与李商隐并称“小李杜”，与杜甫并称“大杜”。

综上，杜牧的名字既承载了家族荣耀，又蕴含了父亲对其才华与品德的期许，而号则反映了他晚年的生活状态与文学追求。