关于失信的成语及其故事如下：

言而无信

成语解释：说话不算数，没有信用。

故事：春秋时期，齐襄公派大将连称和管至父去守卫葵丘，约定一年后替换他们。然而，齐襄公一年后忘记了这个承诺，管至父多次催促未果，最终两人发动叛乱，杀死齐襄公。这个故事告诉我们，人是要讲信用的，既然答应别人的事，就要兑现承诺。

烽火戏诸侯

成语解释：比喻用虚假的手段欺骗人，失去信任。

故事：周幽王为了博取宠妃褒姒的一笑，多次点燃召集诸侯集合的烽火。起初诸侯们上当赶来，但渐渐地不再相信周幽王。后来，当申国联合犬戎等部落进攻周朝时，周幽王再次点燃烽火，但诸侯们都没有来救援，最终周幽王被杀死，西周灭亡。

食言而肥

成语解释：指不守信用，只图自己占便宜。

故事：鲁国大夫孟武伯经常不履行自己的诺言，导致鲁哀公对其失信行为进行了讽刺，说他食言而肥。后世将这个成语形容说话不算数，不守信用，经常违背自己的承诺的人。

背信弃义

成语解释：背弃道义，不守信用。

故事：陈太丘与朋友约定出行，约定在中午。过了中午还没到，陈太丘不再等候就离开了。离开后朋友才到。陈太丘说：“不是我故意失约，是朋友没有按时到来。”然而，朋友却认为陈太丘言而无信，最终两人不欢而散。

这些成语和故事都强调了信用的重要性，提醒我们在日常生活中要言而有信，遵守承诺，以免失信于人，造成不可挽回的损失。