阿基米德检验皇冠是否纯金的故事中，他 利用了密度和浮力原理来解决问题。具体步骤如下：

密度原理

阿基米德通过测量金块、银块和皇冠分别放入装满水的容器中，观察它们排开的水的体积。由于金和银的密度不同，排开的水量也不同。金块排出的水量比银块少，而皇冠排出的水量比金块多，这表明皇冠的密度比纯金小，因此可以推断皇冠中掺了其他金属。

浮力原理

阿基米德还利用了浮力的原理。他首先测量了金块和银块的重量，然后将它们分别放入装满水的容器中，观察它们排开的水的体积。由于浮力等于物体排开液体的重量，他发现银块排开的水比金块多，这表明银块的体积更大。接着，他用与王冠重量相等的金块进行实验，测量它排开的水的体积。然后，他将王冠放入水中，比较两者排开的水的体积。如果王冠排开的水体积大于金块，那么就意味着王冠中掺杂了其他密度较小的金属，如银。

通过这两种方法，阿基米德成功地鉴定出皇冠中是否掺有银，从而解决了国王的难题。