"失败乃成功之母"的意思是：失败是成功的先导或基础，指人唯有善于从失败中吸取经验教训，才能获得成功。这个成语鼓励人们不畏失败，从失败中学习和成长，最终走向成功。

成语出处：

据考证，这个成语源于鲧禹治水的神话。

《山海经·海内经》中提到鲧偷了天帝的息壤来挡洪水，没有成功，但鲧的精神不灭，最终禹继承了父亲的精神，用疏导的方法治服了洪水，获得了成功。

相关故事：

贝多芬晚年失聪，但他通过书写与人交谈，继续创作，最终完成了《命运》交响乐。

卡尔在经营比萨饼屋的过程中经历了多次失败，但他通过总结失败教训，不断改进，最终将比萨饼店遍布美国，取得了巨大成功。

应用：

这个成语常用于劝诫人们，让他们明白失败并不可怕，可怕的是在失败后失去信心和勇气。

它提醒人们，成功往往需要经历多次失败，只有从失败中吸取教训，才能最终取得成功。

综上所述，"失败乃成功之母"不仅是一种鼓励人们面对失败的态度，也是一种指导人们从失败中学习和成长的方法。