门捷列夫在1869年提出了元素周期律，并编制了第一个元素周期表。他通过以下步骤利用元素周期表推算其他元素：

观察元素性质：

门捷列夫首先注意到元素之间存在一些规律，例如不同元素的原子量不同，某些元素的性质相似（如钠和钾都容易与水反应燃烧）。

原子量递增排列：

他将已知的元素按照原子量递增的顺序排列，发现如果每8个元素另起一行，则具有相似性质的元素会排在同一列内，从而形成了元素周期表的雏形。

周期性变化规律：

门捷列夫进一步分析元素的性质，发现这些性质随着原子量的递增而呈周期性变化。他根据这一规律，将元素排列成周期表，并在表中留出空位，预言了这些空位对应的未知元素的性质。

预言未知元素：

门捷列夫根据元素周期律，预言了当时尚未发现的元素，如铝下面的空位对应的是熔点很低的元素，后来这个元素被证实为镓。他还预言了其他几种新元素及其特性，这些预言后来都被证实。

修正已知元素：

门捷列夫还利用元素周期律修正了一些已知元素的原子量，例如铟、铀、钍、铯等。

验证预言：

随着新元素的不断发现，门捷列夫的预言逐渐得到验证，这进一步巩固了元素周期表的正确性和重要性。

通过这些步骤，门捷列夫不仅系统地整理和分类了当时已知的元素，还预言了未来可能发现的元素及其性质，从而为化学研究提供了强有力的工具和指导。