为了活着而砍断手臂的成语是 断臂求生。这个成语的意思是割断手臂求得生存，就像壁虎断尾求生一样，要舍弃一样东西，才能存活下去。

此外，还有一个相关的成语 壮士断腕，原意是勇士手腕被蝮蛇咬伤，立即截断，以免毒性扩散全身。比喻做事要当机立断，不可犹豫不决。

建议根据具体的语境选择合适的成语来表达意思。